Geboren wurde Alexander May am 8. Juli 1917 in Görlitz. Seine Ausbildung zum Schauspieler begann er 1946 in Düsseldorf, wo er auch zwei Jahre von Gustaf Gründgens unterrichtet wurde. Sein erstes Schauspielengagement hatte er am Stadttheater Gießen. Ab dem Jahr 1949 war er als Regisseur am Bochumer Schauspielhaus tätig, bevor er 1959 als Dramaturg zu den Münchner Kammerspielen wechselte. Ab 1978 leitete Alexander May zehn Jahre lang als Intendant und Geschäftsführer das Niedersächsische Staatsschauspiel in Hannover.
Im Jahr 1968 wurde May mit dem Deutschen Filmpreis in Gold in der Kategorie „Bester Schauspieler“ für seine Rolle im Kinofilm „Tätowierung“ (1967) ausgezeichnet. Des Weiteren war er zum Beispiel in Loriots zweitem Spielfilm, der Komödie „Papa ante Portas“ (1991) zu sehen, wo er den Bürgermeister mimte. Dem öffentlich-rechtlichen Fernsehpublikum war May als Schauspieler vor allem durch seine Rolle des Dr. Walter Leibrecht in der Arztserie „Freunde fürs Leben“ (ZDF) sowie als Opa Hermann in der ARD-Serie „Aus heiterem Himmel“ (ARD) ein Begriff.
Alexander May starb am 2. Mai 2008. Er war mit der Schauspielerin Marga Klappert verheiratet, die im Jahr 1995 verstarb. Sein Sohn Jerzy May arbeitet als Moderator.